Vom Lösen von Gleichungen (1)

Beim Lösen von Gleichungen formt man die gegebene Gleichung schrittweise in äquivalente Gleichungen um, bis man die Lösungen ablesen kann oder direkt erhält. Oftmals lohnt sich ein genaues Hinsehen, um nicht immer nur Standardverfahren anzuwenden, sondern effektiv vorzugehen.

Eine erste Methode, die oft sehr effektiv ist, ist das Faktorisieren und anschließende „Ablesen“ der Lösungen. Man muss dazu jedoch auf einer Seite der Gleichung eine „0“ haben.

Hier ein erstes Beispiel:

 \frac 2 3 \cdot x^4 - \frac 1 6 \cdot x^2 = 0

 

Wir klammern \frac 1 6 x^2 aus.

Es ergibt sich:

 \frac 1 6 \cdot x^2 \cdot \left( 4 \cdot x^2 - 1 \right) = 0

 

und weiter:

 \frac 1 6 \cdot x^2 \cdot ( 2 \cdot x - 1) \cdot (2x + 1)= 0

Nun kann man den Satz anwenden:

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist.

Man schaut sich der Reihe nach einfach die Faktoren an und setzt diese gleich Null.

Faktor 1:

 \frac 1 6 \cdot x^2 = 0
führt auf:   x_1 = 0

Faktor 2:

 2x - 1 = 0
führt auf:  x_2 = \frac 1 2

Faktor 3:

 2x + 1 = 0
führt auf: x_3 = - \frac 1 2

Damit lautet die Lösungsmenge: L = \lbrace 0; \frac 1 2 ; - \frac 1 2 \rbrace

Zum Faktorisieren sollte man insbesondere die Binomischen Formeln gut kennen.

Mascheroni-Konstruktionen

Unter www.mathoid.de/geometrie.php finden sich ab sofort einige Beispiele für Konstruktionen nur mit dem Zirkel.

Leider funktionieren nicht alle einwandfrei. Unter geogebra5 kann man leider auch keine html-Dateien mehr erzeugen, sondern die Zeichenflächen nur noch in geogebra-tube hochladen. Noch weiß ich nicht, ob ich auch noch diese Plattform nutzen möchte.

Ich werde nun wohl generell prüfen müssen, welche der Zeichenflächen noch funktionieren und welche nicht. Das wird viel Zeit erfordern. Schade.

Anwendungen der Mathematik …

… wird auch in den kommenden beiden Schuljahren am UMG Greiz laufen. Nach 13 Anmeldungen im Jahr 2013 und 21 Anmeldungen im Jahr darauf entschieden sich diesmal 15 Schüler dafür, das Wahlpflichtfach zu belegen. Angeboten werden auch Informatik, Naturwissenschaft und Technik sowie Darstellen und Gestalten.

Der schulinterne Lehrplan umfasst zahlreiche Module, von denen acht unterrichtet werden.  Näheres findet sich auf der Website www.mathoid.de

 

 

Website – Mathoid erscheint in neuem Design

Seit einigen Tagen erscheint die Website www.mathoid.de in einem neuen Design.

Nach und nach werde ich die alten Inhalte überarbeitet und neu geordnet wieder zur Verfügung stellen. Schon jetzt kann man wieder mit Pentominos puzzeln oder einige der Geometrie-Zeichenflächen nutzen.

Darüber hinaus möchte ich noch einiges mehr anbieten. Unter anderem soll hier auch wieder ein Blog entstehen.

Für die Übergangsphase möchte ich meine Besucher um etwas Geduld bitten. Im Übrigen danke ich den knapp 180000 Nutzern, die sich von 2008 bis 2015 auf meiner Homepage umgesehen haben für ihren Besuch.