Vom Lösen von Gleichungen (1)

Beim Lösen von Gleichungen formt man die gegebene Gleichung schrittweise in äquivalente Gleichungen um, bis man die Lösungen ablesen kann oder direkt erhält. Oftmals lohnt sich ein genaues Hinsehen, um nicht immer nur Standardverfahren anzuwenden, sondern effektiv vorzugehen.

Eine erste Methode, die oft sehr effektiv ist, ist das Faktorisieren und anschließende „Ablesen“ der Lösungen. Man muss dazu jedoch auf einer Seite der Gleichung eine „0“ haben.

Hier ein erstes Beispiel:

$\frac 2 3 \cdot x^4 - \frac 1 6 \cdot x^2 = 0$

Wir klammern $\frac 1 6 x^2$ aus.

Es ergibt sich:

$\frac 1 6 \cdot x^2 \cdot \left( 4 \cdot x^2 - 1 \right) = 0$

und weiter:

$\frac 1 6 \cdot x^2 \cdot ( 2 \cdot x - 1) \cdot (2x + 1)= 0$

Nun kann man den Satz anwenden:

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist.

Man schaut sich der Reihe nach einfach die Faktoren an und setzt diese gleich Null.

Faktor 1:

$\frac 1 6 \cdot x^2 = 0$
führt auf: $x_1 = 0$

Faktor 2:

$2x - 1 = 0$
führt auf: $x_2 = \frac 1 2$

Faktor 3:

$2x + 1 = 0$
führt auf: $x_3 = - \frac 1 2$

Damit lautet die Lösungsmenge: $L = \lbrace 0; \frac 1 2 ; - \frac 1 2 \rbrace$

Zum Faktorisieren sollte man insbesondere die Binomischen Formeln gut kennen.

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